Dasar-Dasar Logika

1.1       PENGERTIAN UMUM LOGIKA

Filsafat dan matematika yakni bidang pengetahuan rasional yang ada semenjak lampau. Jauh sebelum matematika berkembang menyerupai kini ini dan penerapannya menyentuh hampir seluruh bidang ilmu pengetahuan modern, ilmuwan dan filosof yunani telah menyebarkan dasar anutan ilmu geometri dan logika. Sebut saja THALES (640-546 SM) yaitu seorang ilmuwan geometri yang juga disebut sebagai bapak filosofi dan budi sehat deduktif. Ada juga sangat menguasai matematika dan filosof PHYTAGORAS (572-497 SM) dengan pendapat phytagorasnya yang dikenal yaitu a²+b²=c² .

MATEMATIKA DAN FILSAFAT

Persamaan filsafat dan matematika

• Kerja Filosof yakni berpikir konsep.
• Kerja Matematikawan yakni memperjelas konsep yang dikembangkan oleh filosof.

Perbedaan filsafat dan matematika

• Filsafat bebas menerapkan banyak sekali metode rasional.
• Matematikawan hanya menerapkan metode deduksi.

MATEMATIKA DAN LOGIKA

Menurut BETRAND RUSSEL matematika yakni ilmu yang menyangkut deduksi logis wacana akibat-akibat dari mula dan akar fikir umum tiruana penalaran.

Ini berkaitan dengan konsepsi matematika sebagai ilmu formal, ilmu wacana bilangan dan ruang, ilmu wacana besaran dan keluasan, ilmu wacana hubungan, contoh bentuk, dan rakitan juga sebagai ilmu yang bersifat abnormal dan deduktif.

MAKNA LOGIKA

Berasal dari bahasa yunani “LOGOS” yang berarti kata, ucapan, atau alasan. Logika yakni metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip budi sehat yang benar dan budi sehat kesimpulan yang absah. Ilmu ini pertama kali dikembangkan sekitar 300 SM oleh ARISTOTELES dan dikenal sebagai logika tradisioanal atau logika klasik. Dua ribu tahun kemudian dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE MORGAN yang disebut dengan Logika Simbolik alasannya yakni memakai simbol-simbol logika secara intensif.

Dasar anutan logika klasik yakni logika benar dan salah yang disimbolkan dengan 0 (untuk logika salah) dan 1 (untuk logika benar) yang disebut juga LOGIKA BINER. Tetapi pada kenyataanya dalam kehidupan sehari-hari banyak hal yang kita jumpai yang tidak bisa dinyatakan bahwa sesuatu itu mutlak benar atau mutlak salah. Ada kawasan dimana benar dan salah tersebut skornya tidak bisa ditentukan mutlak benar atau mutlak salah alias kabur.

Untuk mengatasi dilema yang terjadi dalam logika klasik yang dikembangkan oleh ARISTOTELES tersebut, seorang ilmuwan dari Universitas California Berkeley, PROF. LOTFI A.ZADEH pada tahun 1965 mengenalkan suatu konsep berpikir logika yang gres yaitu LOGIKA KABUR (FUZZY LOGIC).

PADA LOGIKA FUZZY

• Nilai kebenarn bukan bersifat crisp (tegas) 0 dan 1 saja tetapi berada diantaranya (multivariabel).
• Digunakan untuk merumuskan pengetahuan dan pengalaman insan yang mengakomodasi ketidakpastian ke dalam bentuk matematis tanpa harus mengetahui model matematikanya.
• Pada aplikasinya dalam bidang komputer, logika fuzzy diimplementasikan untuk memenuhi kebutuhan insan akan sistem komputer yang sanggup merepresentasikan cara berpikir manusia.

HUBUNGAN MATEMATIKA DAN LOGIKA

Menurut RUDOLF CARNAP (1931)

• Konsep matematika sanggup diturunkan dari konsep-konsep logika dengan melalui batasan-batasan yang jelas.
• Dalil-pendapat matematika sanggup diturunkan dari aksioma-aksioma logika dengan mediator deduksi logis secara murni.

Menurut BETRAND RUSSEL

• Logika yakni masa muda matematika dan matematika yakni masa remaja logika.

LOGIKA DAN KOMPUTER

          Arsitektur sistem komputer tersusun atas rangkaian logika 1 (true) dan 0 (false) yang dikombinasikan dengan sejumlah gerbang logika AND. OR, NOT, XOR, dan NAND.

          Program komputer berjalan di atas struktur  budi sehat yang baik dari suatu solusi terhadap suatu permasalahan dengan sumbangan komponen kegiatan IF…THEN…ELSE, FOR…TO…DO, WHILE, CASE…OF.

1.2       LOGIKA DAN PERNYATAAN

1.2.1          LOGIKA

PENGERTIAN UMUM LOGIKA

          Logika yakni metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan budi sehat serta mengkaji prinsip-prinsip budi sehat yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah.

          Ilmu logika bekerjasama dengan kalimat-kalimat (argumen) dan korelasi yang ada diantara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya yakni memmemberikankan aturan-aturan sehingga orang sanggup menentukan apakah suatu kalimat berskor benar.

          Kalimat yang dipelajari dalam logika bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun bukti matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh alasannya yakni itu aturan-aturan yang berlaku di dalamnya haruslah bersifat umum dan tidak tergantung pada kalimat atau disiplin ilmu tertentu. Ilmu logika ludang keringh mengarah dalam bentuk sintaks-sintaks daripada arti dari kalimat itu sendiri.

GAMBARAN UMUM LOGIKA

          Secara umum logika dibedakan menjadi dua yaitu Logika Pasti dan Logika Tidak Pasti. Logika niscaya mencakup Logika Pernyataan (Propotitional Logic), Logika Predikat (Predicate Logic), Logika Hubungan (Relation Logic) dan Logika Himpunan. Sedangkan logika tidak niscaya mencakup Logika Samar atau  kabur (Fuzzy Logic).

          Logika Pernyataan membicarakan wacana pernyataan tunggal dan kata hubungnya sehingga didapat kalimat beragam yang berupa kalimat deklaratif.

Logika Predikat  menelaah variabel dalam suatu kalimat, kuantifikasi dan validitas sebuah argumen.

Logika Hubungan mempelajari korelasi antara pernyataan, kekerabatan simetri, refleksif, antisimtris, dll.

Logika himpunan membicarakan wacana unsur-unsur himpunan dan hukum-hukum yang berlaku di dalamnya.

Logika Samar merupakan pertengahan dari dua skor biner yaitu ya-tidak, nol-satu, benar-salah. Kondisi yang ditunjukkan oleh logika samar ini antara lain : banyak, sedikit, sekitar x, sering, umumnya.  Logika samar banyak diterapkan dalam kecerdasan buatan, mesin cerdik atau sistem cerdas dan alat-alat elektronika. Program komputer dengan memakai logika samar mempunyai kapasitas penyimpanan ludang keringh kecil dan ludang keringh cepat bila dibanding dengan logika biner.

ALIRAN DALAM LOGIKA

LOGIKA TRADISIONAL

• Pelopornya yakni Aristoteles (384-322 SM)
• Terdiri dari analitika dan dialektika. Ilmu analitika yaitu cara budi sehat yang didasarkan pada pernyataan yang benar sedangkan dialektika yaitu cara budi sehat yang didasarkan pada dugaan.

LOGIKA METAFISIS

• Dipelopori oleh F. Hegel (1770-1831 M)
• Menurut Hegel, logika dianggap sebagai metafisika dimana susunan pikiran dianggap sebagai kenyataan.

LOGIKA EPISTIMOLOGI

• Diperkenalkan oleh FH. Bradley (1846-1924) dan Bernhard Bosanquet (1848-1923 M).
• Prisip dari logika epistimologi ini yakni untuk mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran yang logis dan perasaan halus digabungkan. Selain itu, untuk mencapai kebenaran, logika harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan yang lainnya.

LOGIKA INSTRUMENTALIS/FRAGMATIS

• Dipelopori oleh Jhon Dewey (1859-1952)
• Prinsipnya yakni logika merupakan alat atau instrumen untuk menuntaskan masalah.

LOGIKA SIMBOLIS

• Logika simbolis yakni ilmu wacana penyimpulan yang sah (absah) yang dikembangkan memakai metod ematematika dan sumbangan simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan seseorang menghindari arti ganda dari bahasa sehari-hari.

• Pelopornya yakni Leibniz, De Morgan, dan Boole
• Logika ini memakai bahasa simbol untuk mempelajari secara rinci bagaimana budi harus bekerja dan bercirikan teknis, matematis, dan ilmiah. Pemakaian simbol matematika ini untuk mewakili bahsa dalam bentuk pernyataan yang berskor benar atau salah.
• Logika simbolis ini kemudian menjadi dasar logika matematika modern yaitu logika formal yang semata-mata menelaah bentuk da bukan isi dari apa yang dibicarakan.

1.2.2          PERNYATAAN (PROPOSISI)

Kata merupakan rangkaian aksara yang mengandung arti, sedangkan kalimat yakni kumpulan kata yang disusun berdasarkan aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak tiruana pernyataan yang berskor benar atau salah saja yang dipakai dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi.

Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi yakni kalimat yang berskor benar atau salah tetapi tidak keduanya.

Contoh :

1. Yogyakarta yakni kota pelajar (Benar).
2. 2+2=4                                     (Benar).
3. Semua insan yakni fana     (Benar).
4. 4 yakni bilangan prima           (Salah).
5. 5x12=90                                  (Salah).

Tidak tiruana kalimat berupa proposisi

Contoh :

1. Dimanakah letak pulau bali?.
2. Pandaikah dia?.
3. Andi ludang keringh tinggi daripada Tina.
4. 3x-2y=5x+4.
5. x+y=2.

1.2.3          PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN

Satu atau ludang keringh proposisi sanggup dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi gres lewat penggunaan operator logika. Proposisi gres yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi beragam (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain  disebut proposisi atomik. Proposisi beragam tersusun dari sejumlah proposisi atomik.

Dalam logika dikenal 5 buah penghubung

Simbol	Arti	Bentuk
¬	Tidak/Not/Negasi	Tidak………….
Ù	Dan/And/Konjungsi	……..dan……..
Ú	Atau/Or/Disjungsi	………atau…….
Þ	Implikasi	Jika…….maka…….
Û	Bi-Implikasi	……..bila dan hanya bila……..

Contoh 1.1 :

Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar yakni nama bunga”

              Q menyatakan kalimat “ Apel yakni nama buah”

Maka kalimat “ Mawar yakni nama bunga dan Apel yakni nama buah “

Dinyatakan dengan simbol  p Ù q

Contoh 1.2 :

Misalkan  p: hari ini hari minggu

              q: hari ini libur

nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :

a.    Hari ini tidak hari ahad tetapi libur

b.    Hari ini tidak hari ahad dan tidak libur

c.    Tidak benar bahwa hari ini hari ahad dan libur

Penyelesaian

a.   Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p Ù q

b.   ¬p Ù¬q

c.    ¬(p Ù q)

NEGASI (INGKARAN)

Jika p yakni “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut yakni Øp yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas berskor benar (true), maka ingkaran p (Øp) yakni berskor salah (false) dan begitu juga sebaliknya.

KONJUNGSI

Konjungsi yakni suatu pernyataan beragam yang memakai penghubung “DAN/AND” dengan notasi “Ù”

Contoh 1.3:

p: Fahmi makan nasi

Q:Fahmi minum kopi

Maka pÙq : Fahmi makan nasi dan minum kopi

Pada konjungsi pÙq akan berskor benar jikalau baik p maupun q berskor benar. Jika salah satunya (atau keduanya) berskor salah maka pÙq berskor salah.

DISJUNGSI

Disjungsi yakni pernyataan beragam yang memakai penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “Ú”.

Kalimat disjungsi sanggup mempunyai 2 arti yaitu :

a.    INKLUSIF OR

Yaitu jikalau “p benar atau q benar atau keduanya true”

Contoh  :

p : 7 yakni bilangan prima

q : 7 yakni bilangan ganjil

p Ú q : 7 yakni bilangan prima atau ganjil

Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.

b.    EKSLUSIF OR

Yaitu jikalau “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.

Contoh :

     p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.

     q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.

     p Ú q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.

Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh berskor benar yaitu jikalau “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.

IMPLIKASI

Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk memperlihatkan atau menandakan bahwa jikalau p berskor benar akan menimbulkan q berskor benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama kemudian diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan beragam yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “Þ”.

Notasi pÞq sanggup dibaca :

1. Jika p maka q
2. q jikalau p
3. p yakni syarat cukup untuk q
4. q yakni syarat perlu untuk p

Contoh 1.4:

1. p : Pak Ali yakni seorang haji.

q : Pak Ali yakni seorang muslim.

p Þ q : Jika Pak Ali yakni seorang haji maka pastilah ia seorang  muslim.

2. p : Hari hujan.

q : Adi membawa payung.

Benar atau salahkah pernyataan memberikankut?

1. Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung.
2. Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.
3. Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung.
4. Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.

BIIMPLIKASI

Biimplikasi atau bikondosional yakni pernyataan beragam dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p Û q” yang berskor sama dengan (p Þq) Ù (q Þ p)  sehingga sanggup dibaca “ p jikalau dan hanya jikalau q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan  hanya akan berskor benar jikalau implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama berskori benar.

Contoh 1.5 :

    p : Dua garis saling berpotongan yakni tegak lurus.

    q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

    p Û q : Dua garis saling berpotongan yakni tegak lurus jikalau dan hanya jikalau dan hanya jikalau dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

TABEL KEBENARAN

p	q	Øp	Øq	pÚq	pÙq	pÞq	pÛq	p Å q
T	T	F	F	T	T	F	T	T
T	F	F	T	T	F	T	F	F
F	T	T	F	T	F	T	T	F
F	F	T	T	F	F	F	T	T

Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keanehan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya korelasi antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat memberikanmplikasi semata-mata hanya tegantung pada skor kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena itu dipakai tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q yakni kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel kebenaran memuat 2n baris.

1.2.4          INGKARAN (NEGASI) SUATU PENYATAAN

NEGASI SUATU KONJUNGSI

Contoh : Fahmi makan nasi dan minum kopi

Suatu konjumgsi akan berskor benar jikalau kedua kalimat penyusunnya yaitu p dan q berskor benar, sedangkan negasi yakni pernyataan yang berskor salah jikalau pernyataan awalnya berskor benar  dan berskor benar jikalau pernyataan awalnya berskor salah.

          Oleh alasannya yakni itu negasi dari : “Fahmi makan nasi dan minum kopi” yakni suatu pernyataan beragam lain yang salah satu komponennya merupakan negasi dari komponen pernyataan awalnya. Kaprikornus negasinya adalah: “Fahmi tidak makan nasi atau tidak minum kopi”.

Disini berlaku aturan De Morgan yaitu : Ø(pÙq)  ekuivalen dengan ØpÚØq

NEGASI SUATU DISJUNGSI

Contoh : “Fahmi makan nasi atau minum kopi”

Suatu disjungsi akan berskor salah hanya jikalau kedua komponen penyusunnya berskor salah., selain itu benar. Oleh alasannya yakni itu negasi dari kalimat  diatas yakni : “ Tidak benar bahwa Fahmi makan nasi atau minum kopi” atau sanggup juga dikatakan “Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi. Disini berlaku aturan De Morgan yaitu : Ø(pÚq) º ØpÙØq

NEGASI SUATU IMPLIKASI

Contoh 1.6 : “Jika hari hujan maka Adi membawa payung”.

          Untuk memperoleh negasi dari pernyataan diatas, kita sanggup mengubah bentuknya ke dalam bentuk disjungsi kemudian dinegasikan, yaitu :

pÞ q º ØpÚq

Maka negasinya

Ø( pÞ q) º Ø(ØpÚq) º pÙØq

NEGASI SUATU BIIMPLIKASI

          Biimplikasi atau bikondisional yakni pernyataan beragam dari dua pernyataaan p dan q yang dinotasikan dengan p Û q º (p Þ q) Ù (q Þ p) sehingga : Ø(p Û q) º Ø [(p Þ q) Ù (q Þ p)]

                                   º Ø [(ØpÚq ) Ù (ØqÚp)]

                                  º Ø (ØpÚq ) Ú Ø(ØqÚp)

                   Ø(p Û q) º (pÙØq ) Ú (qÙØp)

1.3       TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN CONTINGENT

Tautologi yakni suatu bentuk kalimat yang selalu berskor benar (True) tidak peduli bagaimanapun skor kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya, sebaliknya tidak sepaham yakni suatu bentuk kalimat yang selalu berskor salah (False), tidak peduli bagaimanapun skor kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.

Dalam tabel kebenaran, suatu tautologi selalu berskor True pada tiruana barisnya dan tidak sepaham selalu berskor False pada tiruana baris. Kalau suatu kalimat tautologi diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada alhasil akan menghasilkan True, sebaliknya tidak sepaham akan selalu berskor False.

          Jika pada tiruana skor kebenaran menghasilkan skor F dan T, maka disebut formula gabungan (contingent).

Contoh 1.7 :

1.   Tunjukkan bahwa pÚ(Øp) yakni tautologi!

p	Øp	pÚ(Øp)
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	T

2.   Tunjukkan bahwa (pÚq) Ú [(Øp) Ù (Øq)] yakni tautologi!

p	q	Øp	Øq	pÚq	Øp Ù Øq	(pÚq) Ú [(Øp) Ù (Øq)]
T	T	F	F	T	F	T
T	F	F	T	T	F	T
F	T	T	F	T	F	T
F	F	T	T	F	T	T

3.   Tunjukkan bahwa (pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)] adalah tidak sepaham!

p	q	Øp	Øq	pÚq	Øp Ù Øq	(pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)]
T	T	F	F	T	F	F
T	F	F	T	T	F	F
F	T	T	F	T	F	F
F	F	T	T	F	T	F

4. Tunjukkan bahwa [(pÙq) Þ r] Þ p        adalah contingent!  

   

p	q	r	pÙq	(pÙq) Þ r	[(pÙq) Þ r] Þ p
T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	T	T
T	F	T	F	F	T
T	F	F	F	F	T
F	T	T	F	T	F
F	T	F	F	T	F
F	F	T	F	T	F
F	F	F	F	T	F

1.4       KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

Perhatikan pernytaan di bawah ini! Ø  Ù  Ú  Þ  Û

“Jika suatu bender yakni bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut”

Bentuk umum implikasi di atas yakni “p Þ q” dengan

p : Bendera RI

q : Bendera yang ada warna merahnya.

Dari implikasi diatas sanggup dibuat tiga implikasi lainnya yaitu :

1.   KONVERS, yaitu q Þ p

Sehingga implikasi diatas menjadi :

“ Jika suatu bendera ada warna merahnya, maka bendera tersebut yakni bendera RI”.

2.   INVERS, yaitu Øp Þ Øq

Sehingga implikasi diatas menjadi :

“ Jika suatu bendera bukan bendera RI, maka pada bendera tersebut tidak ada warna merahnya”.

3.   KONTRAPOSISI, yaitu Øq Þ Øp

Sehingga implikasi di atas menjadi :

“ Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI”.

Suatu hal yang penting dalam logika yakni kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya, akan tetapi tidak demikian halnya dengan  invers dan konversnya.

Hal ini sanggup dilihat dari tabel kebenaran memberikankut

p	q	Øp	Øq	pÞq	q Þ p	Øp Þ Øq	Øq Þ Øp
T	T	F	F	T	T	T	T
T	F	F	T	F	T	T	F
F	T	T	F	T	F	F	T
F	F	T	T	T	T	T	T

INGKARAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

Contoh 1.8:

Tentukan ingkaran atau negasi konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi memberikankut.

“Jika suatu bendera yakni bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih”

Penyelesaian

Misal p : Suatu bendera yakni bendera RI

        q : Bendera tersebut berwarna merah dan putih

maka kalimatnya menjadi p Þ q atau jikalau memakai operator dan maka p Þ q ekuivalen(sebanding/») dengan  Øp Ú q. Sehingga

1.   Negasi dari implikasi

Implikasi           : (pÞq) » Øp Ú q

Negasinya        : Ø(ØpÚq) » pÙØq

Kalimatnya       :“Suatu bendera yakni bendera RI dan bendera       tersebut tidak berwarna merah dan putih”.

2.   Negasi dari konvers

Konvers            : qÞp » ØqÚp

Negasinya        : Ø(ØqÚp) » qÙØp

Kalimatnya       : “Ada/Terdapat bendera berwarna merah dan putih tetapi bendera tersebut bukan bendera RI”.

3.   Negasi dari invers

Invers              : Øp Þ Øq » Ø(Øp)ÚØq) » pÙØq

Negasinya        : Ø(pÙØq) » ØpÚq

Kalimatnya       : “Suatu bendera bukan bendera RI atau bendera tersebut berwarna merah dan putih”.

4.   Negasi dari kontraposisi

Kontraposisi      : Øq Þ Øp » Ø(Øq)ÚØp » qÚØp

Negasinya        : Ø(qÚØp) » ØqÙp

Kalimatnya       : “ Suatu bendera tidak berwarna merah dan putih dan bendera tersebut yakni bendera RI”.

1.5 EKUIVALENSI LOGIKA

          Pada tautologi, dan juga tidak sepaham, sanggup dipastikan bahwa jikalau dua buah mulut logika yakni tautologi, maka kedua buah mulut logika tersebut ekuivalen secara logis, demikian pula jikalau keduanya tidak sepaham. Persoalannya ada pada contingent, alasannya yakni mempunyai tiruana skor T dan F. Tetapi jikalau urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis. Perhatikan pernyataan memberikankut :

Contoh 1.9 :

1. Dewi sangat elok dan peramah.

2. Dewi peramah dan sanagt cantik.

Kedua pernyataan di atas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja. Dalam bentuk mulut logika sanggup ditulis sebagai memberikankut :

A = Dewi sangat cantik.

B = Dewi peramah.

Maka mulut logikanya :

1. A Ù B

2. B Ù A

Jika dikatakan kedua buah mulut logika tersebut ekuivalen secara logis maka sanggup ditulis A Ù B º B Ù A. Ekuivalensi logis dari kedua mulut logika tersebut sanggup dibuktikan dengan tabel kebenaran sebagai memberikankut ini :

A	B	AÙB	BÙA
T	T	T	T
T	F	F	F
F	T	F	F
F	F	F	F

Pembuktian dengan tabel kebenaran diatas, walaupun setiap mulut logika mempunyai skor T dan F, tetapi alasannya yakni mempunyai urutan yang sama, maka secara logis tetap dikatakan ekuivalen. Tetapi jikalau urutan T dan F tidak sama, maka tidak biasa dikatakan ekuivalen secara logis. Tabel kebenaran merupakan alat untuk menandakan kebenaran ekuivalensi secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut. Lihat pernyataan memberikankut ini :

Contoh 1.10 :

1. Badu tidak pandai, atau ia tidak jujur.

2. Adalah tidak benar jikalau Badu pintar dan jujur.

Secara intuitif sanggup ditebak bahwa kedua pernyataan di atas bergotong-royong sama, tetapi bagaimana jikalau idbuktikan dengan menggunkan tabel kebenaran berdasarkan mulut logika. Adapaun langkah-langkahnya :

1. Ubah lampau argumen di atas ke dalam bentuk ekspresi/notasi logika.

    Misal : A=Badu pandai

               B=Badu jujur

    Maka kalimatnya menjadi

    1. ØAÚØB

    2. Ø(AÙB)

2. Buat tabel kebenarannya

A	B	ØA	ØB	AÙB	ØAÚØB	Ø(AÙB)
T	T	F	F	T	F	F
T	F	F	T	F	T	T
F	T	T	F	F	T	T
F	F	T	T	F	T	T

Perhatikan mulut di atas! Meskipun kedua mulut logika di atas mempunyai skor kebenaran yang sama, ada skor T dan F, keduanya gres dikatakan ekuivalen secara logis jikalau dihubungkan dengan perangkai ekuivalensi dan alhasil menghasilkan tautologi.

3. Tambahkan perangkai biimplikasi untuk menghasilkan tautologi

ØAÚØB	Ø(AÙB)	ØAÚØB Û Ø(AÙB)
F	F	T
T	T	T
T	T	T
T	T	T

Jika hasilnya yakni tautologi (berskor T tiruana), maka dikatakan bahwa kedua argumen tersebut ekuivalen secara logis.

1.5.1 HUKUM-HUKUM EKUIVALENSI LOGIKA

Identitas	pÙ1 º p	pÚ0 º p
Ikatan	pÚ1 º T	pÙ0 º 0
Idempoten	pÚp º p	pÙp º p
Negasi	pÚØp º 1	pÙØp º 0
Negasi Ganda	ØØp º p
Komutatif	pÚq º qÚp	pÙq º qÙp
Asosiatif	(pÚq)Úr º pÚ(qÚr)	(pÙq)Ùr º pÙ(qÙr)
Distributif	pÚ(qÙr) º (pÚq)Ù(pÚr)	pÙ(qÚr) º (pÙq)Ú(pÙr)
De Morgan’s	Ø(pÙq) º Øp Ú Øq	Ø(pÚq) º Øp Ù Øq
Aborbsi	pÙ(pÚq) º p	pÚ(pÙq) º p

Selain dengan menggunkan tabel kebenaran, menentukan dua buah argumen yakni ekuivalen secara logis sanggup juga memakai hukum-hukum ekuivalensi logika. Cara ini ludang keringh singkat

Contoh 1.11 :

1.   Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan hukum-hukum ekuivalensi.

Ø(pÚØq) Ú (ØpÙØq) º Øp

Penyelesaian

Ø(pÚØq) Ú (ØpÙØq) º (ØpÙØ(Øq)) Ú (ØpÙØq)

                             º (ØpÙq) Ú (ØpÙØq)

                             º Øp Ù (qÚØq)

                             º Øp Ù T

                             º Øp                 Terbukti

Dalam menandakan ekuivalensi pºq ada 3 macam cara yang bisa dilakukan :

1. P diturunkan terus menerus (dengan memakai hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada).
2. Q diturunkan terus-menerus (dengan memakai hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada), sehingga didapat P.
3. P dan Q diturunkan secara terpisah sehingga alhasil didapat R

Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang ludang keringh kompleks yang diturunkan ke dalam bentuk yang sederhana. Kaprikornus jikalau p kompleks amaka aturan (1) yang dilakukan. Sebaliknya jikalau q yang ludang keringh kompleks maka aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3) dipakai jikalau p dan q sama-sama kompleks.

PENYEDERHANAAN LOGIKA

Operasi penyederhanaan memakai hukum-hukum ekuivalensi logis. Selanjutnya perhatikan operasi penyederhanaan memberikankut dengan aturan yang dipakai tertulis di sisi kanannya. Penyederhanaan mulut logika atau bentuk-bentuk logika ini dibuat sesederhana mungkin dan sudah tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi.

Contoh 1.12 :

1.   Øp Þ Ø(p Þ Øq)

º Øp Þ Ø(Øp Ú Øq)                       ingat pÞq º ØpÚq

º Ø(Øp) Ú Ø(Øp Ú Øq)                             ingat pÞq º ØpÚq

º p Ú (p Ù q)                                  Hk. Negasi ganda dan De Morgan

º (pÚp) Ù (pÚq)                              Hk. Distributif

º pÙ(pÚq)                                                Hk. Idempoten pÚp º p

º p                                                Hk. Absorbsi

2.   pÚ(pÙq)

º (pÙ1) Ú(pÙq)                              Hk.Identitas

º pÙ(1Úq)                                                Hk.Distributif

º pÙ1                                             Hk.Identitas Ú

º p                                                 Hk.Identitas Ù

3.   (pÞq) Ù (qÞp)

º (ØpÚq) Ù (ØqÚp)                         ingat pÞq º ØpÚq

º (ØpÚq) Ù (pÚØq)                         Hk. Komutatif

º [(ØpÚq)         Ùp] Ú [(ØpÚq)ÙØq]          Hk. Distributif

º [(pÙØp)Ú(pÙq)] Ú [(ØpÙØq)Ú(qÙØq)]    Hk. Distributif

º [0Ú(pÙq)] Ú [(ØpÙØq)Ú0]            Hk. Kontradiksi

º (pÙq)Ú(ØpÙØq)                           Hk. Identitas

Operasi penyederhanaan dengan memakai hukum-hukum logika sanggup dipakai untuk menandakan suatu mulut logika Tautologi, Kontradiksi, maupun Contingent. Jika hasil simpulan penyederhanaan mulut logika yakni 1, maka mulut logika tersebut yakni tautologi. Jika hasil yang diperoleh yakni 0, berarti mulut logika tersebut tidak sepaham. Jika hasilnya tidak 0 ataupun 1, maka mulut logikanya yakni contingent.

Contoh 1.13 :

1.   [(pÞq)Ùp]Þq

º [(ØpÚq)Ùp] Þ q                          ingat pÞq º ØpÚq

º Ø[(ØpÚq)Ùp] Ú q                         ingat pÞq º ØpÚq

º [(pÙØq)ÚØp] Ú q                         Hk. Negasi ganda dan De Morgan

º [(pÚØp)Ù(ØqÚØp)] Ú q                 Hk. Distributif

º [1Ù(ØpÚØq)] Ú q                         Hk. Idempoten dan komutatif

º (ØpÚØq)Úq                                  Hk. Identitas

º ØpÚ(ØqÚq)                                  Hk. Assosiatif

º ØpÚ1                                          Hk. Idempoten

º 1                                                          Hk. Identitas

Karena hasil alhasil 1, maka mulut logika diatas yakni tautologi.

2.   (pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)]

º (pÚq)Ù(ØpÙØq)                                             

º [(pÚq)ÙØp]Ù[(pÚq)ÙØq]                        Hk. Distributif

º [(pÙØp)Ú(qÙØp)]Ù[(pÙØq)Ú(qÙØq)]      Hk. Distributif

º [0Ú(qÙØp)]Ù[(pÙØq)Ú0]                        Hk. Negasi

º (ØpÙq)Ù(pÙØq)                                     Hk. Idempoten

º (ØpÙp)Ù(qÙØq)                                     Hk. Assosiatif

º 0Ù0                                                      Hk. Negasi

º 0                                                                   Hk. Idempoten

Hasil simpulan 0, maka mulut logika diatas yakni tidak sepaham.

3.   [(pÚq)ÙØp] Þ Øq

º [(pÙØp)Ú(qÙØp)] Þ Øq                         Hk. Distributif

º [0 Ú (qÙØp)] Þ Øq                               Hk. Negasi

º (qÙØp) Þ Øq                                        Hk. Identitas

º Ø(qÙØp) Ú Øq                                       ingat pÞq º ØpÚq

º (ØqÚp) Ú Øq                                         Hk. De Morgan

º (ØqÚØq)Úp                                           Hk. Assosiatif

º ØqÚp                                                    Hk. Idempoten

Hasilnya bukan 0 atau 1,  mulut logika di atas yakni contingent.

                  

1.5       INFERENSI LOGIKA

1.5.1          ARGUMEN VALID DAN INVALID

Argumen adalah suatu pernyataan tegas yang dimemberikankan oleh sekumpulan proposisi P₁,  P₂, .........,P_n yang disebut premis (hipotesa/asumsi) dan menghasilkan proposisi Q yang lain yang disebut konklusi (kesimpulan).

Secara umum di notasikan dengan

 

          P_1,P_{2, ..........,}P_n ├Q       atau sanggup juga ditulis

			Konklusi

 

Nilai kebenaran suatu argumen ditentukan sebagai memberikankut :

“ Suatu argumen P_1,P_{2,…………,,}P_n ├ Q dikatakan benar (valid) jikalau Q berskor benar untuk tiruana premis yang benar dan argumen dalam keadaan selain itu dikatakan salah (invalid/fallacy)”.

Dengan kata lain, suatu argumen dikatakan valid apabila untuk sembarang pernyataan yang disubtitusikan ke dalam premis, jikalau tiruana premis benar maka konklusinya juga benar. Sebaliknya jikalau tiruana premis benar tetapi konklusinya ada yang salah maka argumen tersebut dikatakan invalid (fallacy).

Jadi suatu argumen dikatakan valid  jika dan hanya jikalau proposisi P₁ÙP₂Ù........ÙP_n) Þ Q yakni sebuah Tautologi.

Contoh 1.14 :

1.   Premis

P₁ : Jika Office dan Delphi diharapkan maka tiruana orang akan    belajar   komputer

P₂ : Office dan Delphi diperlukan

Konklusi

     Q : Semua orang akan berguru komputer

Jika ditulis dalam bentuk notasi logika

Misal p : Office dan Delphi diperlukan

        q : Semua orang berguru komputer

Maka argumen diatas sanggup ditulis :

pÞq, p ├ q  (valid)

2.   Misal p : Saya suka kalkulus

             q : Saya lulus ujian kalkulus

    Maka argumen p Þ q, p ├ q sanggup ditulis

    P₁ : Jika saya suka kalkulus, maka saya akan lulus ujian kalkulus

    P₂ : Saya lulus ujian kalkulus

    \ Saya lulus ujian kalkulus (valid)

Untuk mengetahui suatu argumen apakah valid atau tidak maka sanggup dilakukan langkah-langkah sebagai memberikankut :

1.   Tentukan premis dan konklusi argumen

2.   Buat tabel yang memperlihatkan skor kebenaran untuk tiruana premis dan konklusi.

3.   Carilah baris kritis yatitu baris diman tiruana premis berskor benar.

4.   Dalam baris kritis tersebut, jikalau skor kesimpulan tiruananya benar maka argumen tersebut valid. Jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan skor konklusi salah maka argumen tersebut tidak valid.

Contoh 1.15:

Tentukan apakah argumen memberikankut ini valid atau invalid

a)   pÚ(qÚr), Ør ├ pÚq

b)   pÞ(qÚØr), qÞ(pÙr) ├pÞr

Penyelesaian

a)

Baris ke	p	q	r	qÚr	pÚ(qÚr) (Premis)	Ør (Premis)	pÚq (konklusi)
1	T	T	T	T	T	F	T
2	T	T	F	T	T	T	T
3	T	F	T	T	T	F	T
4	T	F	F	F	T	T	T
5	F	T	T	T	T	F	T
6	F	T	F	T	T	T	T
7	F	F	T	T	T	F	F
8	F	F	F	F	F	T	F

Dapat dilihat pada tabel diatas bahwa baris 2, 4, dan 6 premisnya berskor benar tiruana. Kemudian lihat pada baris konklusi. Ternyata pada baris konklusi tiruananya berskor benar. Maka argumen diatas yakni valid.

b) Silahkan Anda kerjakan!.

1.5.2          ATURAN PENARIKAN KESIMPULAN

A.   MODUS PONEN

Modus ponen atau budi sehat pribadi adalh salah satu metode inferensi dimana jikalau diketahui implikasi ” Bila p maka q ” yang diasumsikan berskor benar dan antasenden (p) benar. Supaya implikasi pÞq berskor benar, maka q juga harus berskor benar.

Modus Ponen : pÞq , p ├ q

atau sanggup juga ditulis 

pÞq

p

――――

\ q

Contoh 1.16 :

Jika digit terakhir suatu bilangan yakni 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10

Digit terakhir suatu bilangan yakni 0

――――――――――――――――――――――――――――――――――――

\ Bilangan tersebut habis dibagi 10

    

B.   MODUS TOLLENS

Bentuk modus tollens menyerupai dengan modus ponen, hanya saja premis kedua dan kesimpulan merupakan kontraposisi premis pertama modus ponen. Hal ini mengingatkan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya.

Modus Tollens : pÞq, Øq ├ Øp

Atau sanggup juga ditulis

pÞq

Øq

――――

\ Øp

Contoh 1.17:

Jika digit terakhir suatu bilangan yakni 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10

Suatu bilangan tidak habis dibagi 10

――――――――――――――――――――――――――――――――――――

\ Digit terakhir bilangan tersebut bukan 0

C.   PENAMBAHAN DISJUNGTIF (ADDITION)

Inferensi penambahan disjungtif didasarkan atas fakta bahwa suatu kalimat sanggup digeneralisasikan dengan penghubung ”Ú”. Alasannya yakni alasannya yakni penghubung ”Ú” berskor benar jikalau salah satu komponennya berskor benar.

Misalnya saya menyampaikan ”Langit berwarna biru” (berskor benar). Kalimat tersebut tetap akan berskor benar jikalau dimenambahkan kalimat lain dengan penghubung ”Ú”. Misalnya ”Langit berwarna biru atau belibis yakni hewan menyusui”. Kalimat tersebut tetap berskor benar meskipun kalimat ”Bebek yakni hewan menyusui”, merupakan kalimat yang berskor salah.

Addition : p ├(pÚq) atau q ├ (pÚq)

Atau sanggup ditulis

p               atau          q

――――                           ――――

\ pÚq                        \ pÚq

Contoh 1.18 :

Simon yakni siswa SMU

――――――――――――――――――――

\ Simon yakni siswa SMU atau SMP

D.   PENYEDERHAAN KONJUNGTIF (SIMPLIFICATION)

Inferensi ini merupakan kebalikan dari inferensi penambahan disjungtif. Jika beberapa kalimat dihubungkan  dengan operator ”Ù”, maka kalimat tersebut sanggup diambil salah satunya secara khusus (penyempitan kalimat).

Simplification : (pÙq) ├p atau (pÙq) ├ q

Atau sanggup ditulis

pÙq         atau   pÙq

―――                   ―――

\ p                   \ q

Contoh 1.19 :

Langit berwarna biru dan bulan berbentuk bulat

―――――――――――――――――――――――――

\ Langit berwarna biru atau \ Bulan berbentuk bulat

E.   SILOGISME DISJUNGTIF

Prinsip dasar Silogisme Disjungtif (Disjunctive syllogism) yakni kenyataan bahwa apabila kita dihadapkan pada satu diantara dua pilihan yang ditawarkan (A atau B). Sedangkan kita tidak memilih/tidak menyukai A, maka satu-satunua pilihan yakni menentukan B. Begitu juga sebaliknya.

Silogisme Disjungtif : pÚq, Øp ├q dan pÚq, Øq ├ p

Atau sanggup ditulis

pÚq         atau   pÚq

Øp                    Øq

――――               ――――

\ q                  \ p

Contoh 1.20:

Saya pergi ke mars atau ke bulan

Saya tidak pergi ke mars

――――――――――――――――――

\ Saya pergi ke bulan

F.   SILOGISME HIPOTESIS (TRANSITIVITY)

Prinsip silogisme hipotesis yakni sifat transitif pada implikasi. Jika implikasi pÞq dan qÞr keduanya berskor benar, maka implikasi pÞr berskor benar pula.

Transitivity : pÞq , qÞr ├ pÞr

Atau sanggup ditulis

pÞq

qÞr

―――――

\ pÞr

Contoh 1.21:

Jika hari hujan maka tanahnya menjadi berlumpur

Jika tanahnya berlumpur maka sepatu saya akan kotor

―――――――――――――――――――――――――――――

\ Jika hari hujan maka sepatu saya akan kotor.

G.   KONJUNGSI

Jika ada dua kalimat yang masing-masing benar, maka gabungan kedua kalimat tersebut dengan memakai penghubung ”Ù” juga berskor benar.

Konjungsi

p

q

――

\ pÙq

H.  DILEMA

Kadang-kadang, dalam kalimat yang dihubungkan dengan penghubung ”Ú”, masing-masing kalimat sanggup mengimplikasikan  sesuatu yang sama. Berdasarkan hal itu maka suatu kesimpulan sanggup diambil.

Dilema :

pÚq

pÞr

qÞr

―――

\r

Advertisement