Representasi Data

2.1 Landasan Pengetahuan

Untuk sanggup memahami dengan memperringan dan sepele cuilan representasi data komputer, dibutuhkan landasan pengetahuan awal wacana sistem bilangan dan logika matematika

2.2 Sistem Bilangan

Bilangan mempunyai basis. Yang biasa dipergunakan ialah basis 10 atau desimal.

Dimemberikankan sebuah bilangan : 5736

Artinya : 5736    =   5000 + 700 + 30 + 6

                                =   5 . 1000 + 7 . 100 + 3 . 10 + 6 . 1

                                =   5 . 10³ + 7 . 10² + 3 . 10¹ + 6 . 10⁰

Contoh sederhana basis bilangan lain yang biasa kita temui :

• sistem bilangan jam, memakai basis 12

• perhitungan hari, memakai basis 7 (misalnya bila dianggap Ahad=1, Senin=2, … Sabtu =0)

Pada sistem bilangan dengan basis N, dipakai angka-angka 0,1, .. N-1.

Contoh :

• sistem bilangan desimal (basis 10) memakai angka 0,1,2,3,..9

• sistem bilangan biner (basis 2) memakai angka 0 dan 1

Jika X sebuah evaluasi yang direpresentasikan dalam sistem bilangan dengan basis N sehingga menjadi rangkaian angka b_i..b₂b₁b₀, maka

X   =  b_i.Nⁱ+..+b₂.N²+b₁.N¹+b₀.N⁰ .........................................................................(1)

                              i

Atau        X    =   ∑ b_a.N^a

                           a=0

Secara teoritis, sanggup dibentuk sistem bilangan dengan basis berapapun (bulat positif >1)

Perubahan basis

Setiap evaluasi / besaran tertentu sanggup direpresentasikan dengan aneka macam sistem bilangan. Dengan demikian sanggup pula dilakukan perubahan basis bilangan.

dari basis N ke basis 10

Pengubahan dari basis N ke basis 10 sanggup dilakukan dengan memakai formula (1) di atas.

Contoh :

342₈ akan diubah menjadi basis 10

342₈                =    3.8²+4.8¹+2.8⁰

                   =    3.64+4.8+2.1

                   =    192+32+2

                   =    226

2AF₁₆ akan diubah menjadi basis 10

2AF           =    2.16²+A.16¹+F.16⁰

                   =    2.256+10.16+15.1

                   =    512+160+15

                   =    687

Untuk digit di belakang koma pada bilangan pecahan, formula (1) tersebut tetap berlaku.

Contoh

0.01101₂ akan diubah menjadi basis 10

0.01101₂    =    1.2^-2+1.2^-3+1.2^-5

                   =    1/4 + 1/8 + 1/32

                   =    0.25 + 0.125 + 0.03125

                   =    0.40625

dari basis 10 ke basis N

Perubahan dari basis 10 ke basis N dilakukan dengan operasi division (pembagian bulat) dan modulus (sisa pembagian bulat) N.

Contoh :

971 akan diubah menjadi basis 8

971 div 8 = 121,       modulus (sisa) = 3

121 div 8 = 15,          modulus = 1

15 div 8 = 1,              modulus = 7

                                      à 971 = 1713₈

29 akan diubah menjadi basis 2

29 div 2 = 14,            modulus = 1

14 div 2 = 7,              modulus = 0

7 div 2 = 3,                 modulus = 1

3 div 2 = 1,                 modulus = 1

                                      à27 = 11101₂

Untuk digit di belakang koma pada bilangan pecahan, perubahan basis dilakukan dengan mengalikan fraksi pecahan dengan basisnya. Hasil perkaian tersebut kemudian diambil fraksi bulatnya.

Contoh

0.625 akan diubah menjadi basis 2

0.625 x 2        =    1.25

0.25 x 2          =    0.5

0.5 x 2             =    1.0

0.625               =    0.101₂

Aritmatika Basis N

Operasi penjumlahan dan pengurangan sanggup dilakukan pada dua bilangan dengan basis yang SAMA. Perhitungan aritmadab pada basis N dilakukan serupa dengan pada basis 10.

Contoh

1                                                1    1

253₆                                          110011₂

421_6 +                                         11010_{2 +}

1114₆                                  1001101₂

Jika bilangan-bilangan yang dioperasikan dalam kedua teladan di atas diubah menjadi basis 10, maka hasil perhitungan yang diperoleh tetap akan sama

253₆= 105, 421₆= 157, 1114₆= 262;   105+157=262

110011₂ = 51, 11010₂ = 26, 1001101₂ = 77;  51+26=77

2.3 Logika Matematika Dasar

Himpunan

Himpunan merupakan kumpulan dari aneka macam elemen dengan karakteristik yang serupa. Suatu himpunan berada dalam semesta tertentu yang membatasi ruang lingkupnya.

Contoh:

- himpunan bilangan lingkaran positif < 10

- himpunan bilangan prima < 100

- himpunan mahasiswa Teknik Informatika

- dll

relasi himpunan

1. A himpunan cuilan dari B, A ⊆ B, bila dan hanya bila setiap elemen A ialah juga elemen B

2. A sama dengan B, A = B, bila dan hanya bila A ⊆ B dan B ⊆ A

_

3. Komplemen himpunan A, A = { x | x  ∉ A}

kombinasi himpunan

Terdapat beberapa macam korelasi himpunan, yaitu

1. Gabungan himpunan A dan B, A ∪ B

2. Irisan himpunan A dan B, A ∩ B

3. Perbedaan simetris  belum dibahas

Contoh

Dari Diagram Venn memberikankut

S = 1, 2, 3, 4

A = 2, 3 A∪B = 2, 3, 4

B = 3, 4 A∩B = 3

A’ = 1, 4 A-B = 2

B’ = 1, 2  B-A = 4

ALJABAR HIMPUNAN

Berikut operasi-operasi dasar dalam aljabar himpunan

A∪S = S A∩S = A

A∪A = A A∩A = A

A∪A’ = S A∩A’ = ∅

A∪∅ = A A∩∅ = ∅

(A∪B)’ = A’∩B’

(A∩B)’ = A’∪B’

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

A’’ = A

Logika

Dalam logika matematika, setiap pertanyaan atau kombinasi beberapa pernyataan mempunyai evaluasi TRUE (benar) atau FALSE (salah). Kombinasi pernyataan sanggup disusun dalam operasi-operasi logika, dengan operasi-operasi dasar sebagai memberikankut

1. Negasi (NOT), menghasilkan kebalikan evaluasi kebenaran dari suatu pernyataan

Tabel kebenaran dari operasi Negasi ialah sebagai memberikankut

P	p
T	F
F	T

Lambang dalam diagram logika :

1   2   3  4        S

A    B

Tabel kebenaran dari operasi Negasi ialah sebagai memberikankut

P Q p ∨ q T T T

T			F	T
F			T	T
F			F	F

salah, maka kombinasinya akan be

Tabel kebenaran dari operasi Negasi ialah sebagai memberikankut

P Q p ∧ q T T T

T			F	F
F			T	F
F			F	F

turan

A . 0 = 0

A . 1 = A

A + 1 = 1A + A’ = 1

A + A’ . B

A’ + A . B =

um-hukum

am omputer terde data dasar, yaitu

1. Bilangan bula

2. Bilangan pecahan atau floating point

Komputer merepresentasikan data dalam bentuk biner, alasannya setiap sel / bit data dalam komputer hanya sanggup menyimpan dua macam keadaan, yaitu voltase tinggi dan voltase rendah. Perbedaan voltase tersebut mewakili evaluasi TRUE dan FALSE, atau bit ‘1’ dan ‘0’

Representasi Bilangan Bulat / Integer

Bilangan Bulat Tak Bertanda sanggup direpresentasikan dengan

- bilangan biner – oktal - heksadesimal

- gray code

- BCD (binary coded decimal)

- Hamming code

Bilangan lingkaran bertanda (positif atau negatif) sanggup direpresentasikan dengan

- Sign/Magnitude (S/M)

- 1’s complement

- 2’s complement

Untuk bilangan lingkaran positif, tidak ada perbedaan dalam ketiga macam representasi bilangan di atas. Terdapat persamaan dalam ketiga representasi tersebut berupa digunakannya MSB (most significant bit) sebagai penanda. MSB berpenilaian ‘0’ untuk bilangan positif dan ‘1’ untuk bilangan negatif

7	6	5	4	3	2	1	0
MSB							LSB

SIGN/MAGNITUDE

Representasi negatif dari suatu bilangan diperoleh dari bentuk positifnya dengan mengubah bit pada MSB menjadi berpenilaian 1. Jika dipergunakan N bit untuk representasi data, maka rentang evaluasi yang sanggup direpresentasikan ialah -2^N-1-1 s.d 2^N-1-1

Contoh : bila dipergunakan 5 bit untuk representasi bilangan

+3 = 00011

-3  = 10011

1’S COMPLEMENT

Representasi negatif dari suatu bilangan diperoleh dengan mengkomplemenkan seluruh bit dari evaluasi positifnya. Jika dipergunakan N bit untuk representasi data, maka rentang evaluasi yang sanggup direpresentasikan ialah -2^N-1-1 s.d 2^N-1-1

Contoh : bila dipergunakan 5 bit untuk representasi bilangan

+3 = 00011

-3  = 11100

2’S COMPLEMENT

Representasi negatif dari suatu bilangan diperoleh dengan mengurangkan 2ⁿ dengan evaluasi positifnya. Jika dipergunakan N bit untuk representasi data, maka rentang evaluasi yang sanggup direpresentasikan ialah -2^N-1 s.d 2^N-1-1

Contoh : bila dipergunakan 5 bit untuk representasi bilangan

2ⁿ = 2⁵ = 100000

+3 = 00011

-3  = 100000-00011

100000

00011-

11101

-3 = 11101

PERBANDINGAN

Berikut tabel perbandingan ketiga cara representasi bilangan lingkaran bertanda tersebut

B	Nilai yang direpresentasikan
b3b2b1b0	Sign/Magnitude	1’s complement	2’s complement
0111	+7	+7	+7
0110	+6	+6	+6
0101	+5	+5	+5
0100	+4	+4	+4
0011	+3	+3	+3
0010	+2	+2	+2
0001	+1	+1	+1
0000	+0	+0	+0
1000	-0	-7	-8
1001	-1	-6	-7
1010	-2	-5	-6
1011	-3	-4	-5
1100	-4	-3	-4
1101	-5	-2	-3
1110	-6	-1	-2
1111	-7	-0	-1

Representasi Bilangan Pecahan / Floating Point

Bilangan pecahan sanggup direpresentasikan dalam bentuk pecahan biasa atau dalam bentuk scientific.

BENTUK PECAHAN BIASA

Dalam bentuk pecahan biasa, bilangan direpresentasikan eksklusif kedalam bentuk binernya. Contoh : 27.625 = 11011.101₂

BENTUK SCIENTIFIC

Dalam notasi scientific, bilangan pecahan dinyatakan sebagai  X = ±M . B^±E.

M = mantissa

B = basis

E = eksponen

Contoh : 5.700.000 = 57 . 10⁵   M=57, B=10, E=5

Masalah : terdapat tak berhingga banyaknya representasi yang sanggup dibuat. Dalam teladan sebelumnya, 5.700.000 = 57.10⁵ = 570.10⁴ = 5,7.10⁶ = 0,57.10⁷ = 0,057.10⁸ dst. Untuk mengatasinya, ditentukan adanya bentuk normal, dengan syarat

1/B ≤ |M|< 1

Dengan demikian, bentuk scientific yang normal (memenuhi persyaratan) dari 5.700.000 ialah 0,57.10⁷

Dalam bentuk normal tersebut, selalu diperoleh mantissa berbentuk ‘0,…’ sehingga dalam representasinya kedalam bit data, fraksi ‘0,’ tersebut sanggup dihilangkan.

Mantissa dan eksponen tersebut sanggup direpresentasikan memakai salah satu cara representasi bilangan lingkaran bertanda yang telah dibahas di atas. Representasi yang dipilih sanggup saja berbeda antara mantissa dengan eksponennya.

Contoh

- Digunakan untaian 16 bit untuk representasi bilangan pecahan

- 10 bit pertama dipakai untuk menyimpan mantissa dalam bentuk S/M

- 6 bit sisanya dipakai untuk menyimpan mantissa dalam bentuk 1’s complement

- Akan direpresentasikan bilangan 0,00000075

15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Mantissa										Eksponen

0,00000075 = 0,75 . 10-6  M = 0,75;  E = -6

Representasi Mantissa :

0,75 = 0,11₂. Karena sudah dalam bentuk normal ‘0,’dapat dihilangkan.

S/M  MSB sebagai penanda. Dengan demikian, mantissa = 0110000000

Representasi Eksponen : 6=110₂ . Karena dipakai 6 bit, 110₂ = 000110.

1’s complement  -6 = 111001

Representasi :

0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	1
15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0

2.7 Representasi Karakter

Terdapat beberapa macam cara representasi karakter sebagai memberikankut

1. ASCII (American Standard Code for Information Interchange)

2. SBCDIC (Standard Binary Coded Decimal Interchanged Code)

3. EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchanged Code)

4. Unicode

ASCII

Terdapat dua macam ASCII, yaitu yang mempergunakan 7 bit dan 8 bit. Pada ASCII yang mempergunakan 7 bit, terdapat dua kelompok karakter, yaitu

1. Karakter Kontrol, dipakai untuk mengontrol pengiriman atau transmisi data

2. Karakter Informasi, merupakan karakter yang mewakili data

Terdapat beberapa macam karakter kontrol, yaitu

- transmission control, dipakai untuk mengendalikan arus data yang dikirimkan melalui media transmisi. Contoh : SOH (Start of Header), STX (Start of Text), EOT (End of Text), dll

- format effector, dipakai untuk mengatur susunan secara fisik dari informasi yang ditampilkan ke layar. Contoh : LF (Line Feed), CR (Carriage Return), FF (Form Feed), dll

- device control, dipakai untuk mengendalikan peralatan fisik di terminal

- information separator, dipakai sebagai elemen pembatas data yang ditransmisikan. Contoh : US (Unit Separator), RS (Record Separator), FS (File Separator), dll

Unicode

Unicode memakai 16 bit untuk merepresentasikan karakter. Dengan demikian, banyaknya karakter yang sanggup direpresentasikan ialah 2¹⁶ atau 65.536 karakter. Keunggulan Unicode dari ASCII ialah kemampuannya untuk menyimpan simbol / karakter yang jauh ludang keringh besar. Himpunan 256 karakter pertama dari Unicode merupakan pemetaan karakter ASCII 8 bit, sehingga Unicode tetap kompatibel dengan ASCII. Selain merepresentasikan seluruh karakter ASCII, Unicode sanggup merepresentasikan juga aneka macam macam simbol diluar ASCII, ibarat karakter Arab, Kanji, Hiragana, Katakana, dan lain-lain.

Advertisement